Dans Le Monde du dernier week-end de novembre, il y avait toute une page de réactions de lecteurs à l’article datant de la semaine précédente, où Xavier Darcos estimait ne pas savoir « du tout » faire une règle de trois (résumé). Georges Marcellier indique que c’est une coquetterie de littéraire de se dire nul en mathématiques – j’avais aussi remarqué cela et le pointe souvent dans mes interventions (voir aussi l’éditorial du président de la Société mathématique de France, PDF).

Mais il y a une petite pépite dans ce courrier des lecteurs, c’est la lettre de Pierre Pelloso de Paris, un jeu mathématico-littéraire, justement : J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans. Ce problème (connu) était paraît-il posé en 1928 au certificat d’études primaires – et l’on demandait une résolution arithmétique et non algébrique.

Un certificat d'études primaires de 1921, Académie d'Aix (WikiCommons, André Payan-Passeron)

Pierre Pelloso indique que seuls 1% des personnes donnent une solution arithmétique, et 80% une solution algébrique (le reste ne sait pas résoudre, c’est le vivier des futurs ministres de l’Éducation nationale). Je défie mes lecteurs pour trouver une solution arithmétique. Je n’aime pas poser des questions dont je n’ai pas la réponse (très immodestement : tel Leibniz et son défi de la chaînette), aussi je propose une solution en premier commentaire ; mais elle est fort alambiquée, et encore je la donne en ayant en tête la solution trouvée par la méthode algébrique.

Je m’avance peut-être, mais en 1928 il y a fort peu de chances qu’on apprît au primaire à faire de l’algèbre et à poser des inconnues. Rappelez-vous, pour ceux qui ont connu çà, les problèmes de robinet et surtout de trains (qui introduisent un décalage temporel, comme ici) : il ne venait à personne l’idée de les résoudre algébriquement !

Alors à vos  (porte-)plumes ! Vous pouvez essayer de simplifier ma solution, mais je suggère plutôt que vous cherchiez par vous-même sans regarder mon premier commentaire.

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Ajout d'août 2016 : Un prolongement intéressant de ce genre de sujets se trouve dans un article BibNum que j'ai édité depuis, grâce aux auteurs J. Gavin & A. Schärlig, à propos des méthodes dites de "fausse position" (ici, nombreux exemples dans l'onglet 'Analyse' ou dans le PDF 'Analyse' à télécharger).

Cà y est - les films sortent le mercredi et les livres le jeudi - mon 4° enfant (déjà un de plus que dans la vie réelle) est depuis ce jour en librairie (ce 4° enfant est d'un autre lit éditeur que les trois premiers). Il s'agit de :

Récréations mathéphysiques
Editions Le Pommier, Collection Impromptus
152 p., Octobre 2010, prix 15 euros
(éditeur) (Amazon)

Vous y trouverez pas mal de choses de ce blog (comme quoi le concept de livre papier a de l'avenir même avec Internet), mais mieux classées, réécrites, ainsi que d'autres brèves. C'est l'idée de l'ouvrage de faire des brèves, environ quatre ou cinq dans une dizaine de sujets : théorie des nombres, géométrie, radioactivité, etc. Et toujours en mêlant mathématiques et physique, comme dans mon premier ouvrage - par rapport aux Indispensables Mathématiques et physiques, les Récréations sont comme leur  nom l'indique un ouvrage plus léger, plus zappant ...

Je remercie, comme je fais dans le livre, tous les lecteurs de mon blog pour leurs commentaires avisés, pour leur lecture attentive du blog, même s'ils ne laissent pas de commentaires - en espérant que ce livre pourra les intéresser.

4° de couverture de l'éditeur :

À quoi sert la clef du n° de sécurité sociale ? Quels sont les tracés qu'on peut faire sans lever le crayon ? Qu'y a-t-il au centre d'un carré magique ? Platon et Euler, inventeurs du ballon de football ? Comment marche l'algorithme d'ordre des résultats dans un moteur de recherche ? Pourquoi y a-t-il une station de RER Laplace ? Comment fonctionne un détecteur d'incendie dans un hôtel ? Pourquoi la Terre perd-elle le Nord ?
« Mathéphysiques » ?… parce que les maths et la physique, cela marche ensemble et que ces Récréations peuvent vous faire réfléchir... comme la métaphysique !
Dans ce petit ouvrage intelligent ET divertissant, vous êtes invités à un "zapping" (ou à une lecture suivie !) à travers des miscellanées mêlant notions mathématiques et physiques, curiosités quotidiennes et histoire des sciences. De quoi passer de très bons moments sur votre chaise longue…

Quelques mentions/recensions de l'ouvrage :

- site science.gouv.fr nov. 2010

- émission France-Culture Science Publique du 19 novembre 2010.

- brève dans magazine de vulgarisation mathématique Tangente n°137 nov-déc 2010.

- site La main à la Pâte -science et technologie au collège (Académie des sciences), Béatrice Salviat, oct.2010

- site des anciens élèves des écoles des Mines (Intermines)

- site CultureMath ENS nov. 2010

- Unité de recherche et d'enseignement sur les mathématiques de l'ULB (Université Libre de Bruxelles)

- Journal Le Dauphiné Libéré du 14 novembre 2010 (JPG 1,3Mo)

- émission RFI (Caroline Lachowski) Comment s'amuser avec les maths et la physique ? (mercredi 15 décembre  2010, 11h-12h)

- revue Quadrature, janvier 2011, n°69 (extrait)

- Bulletin de l'UdPPC (Union des professeurs de physique et de chimie), n° 929, janvier 2011.

- Bulletin de l'APMEP (Association des professeurs de mathématiques), n°492, février 2011 (en ligne)

- La Jaune & la Rouge (revue des anciens élèves de Polytechnique), n°662, février 2011, J.P. Papillon

- La Recherche, n°450, mars 2011, p.90.

- blog d'Hervé Kabla, Kablages, mai 2011.

- recension dans magazine de vulgarisation mathématique Tangente n°141 juillet-août 2011.

- recension dans L'Astronomie (décembre 2011), magazine de la Société d'astronomie de France.

- recension de Kamil Fadel dans Découvertes, la revue du Palais de la Découverte (janv-fév 2012)

J'ai bien aimé "le media du jour" de Wikimedia commons, vidéo de construction à la règle et au compas d'un pentagone : ici.

(voir aussi les constructions de Descartes à la règle et au compas - il n'avait pas enregistré de fichier SVG ou MP4...)

(inspiré du magazine Tangente, novembre 2009)

Par combien de 0 se termine le nombre 2010!?

(c'est à dire le nombre factorielle de 2010, soit 2010! = 2010×2009×2008...×2×1). On ramasse les copies à la rentrée.

La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats (360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.

La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un pentagone accolé à un triangle, etc.

La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un angle β (peu importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut  π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à gauche) à π + α  (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une valeur π en ajoutant un côté.

Pour ceux qui veulent aller plus loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ». D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?