On continue la gymnastique mathématinale - exercice III. Après le premier, le second, je crée une catégorie (un billet de blog, çà va, trois billets : bonjour les dégâts, vite créons une catégorie, dirait un geek wikipédien).

Il y a quelque chose qui ne va pas dans le panneau ci-dessous — c'est presque une insulte à l'intelligence de ceux qui le lisent. Le Sénat est coutumier du fait : à croire que politique (ou botanique pour les conservateurs du Jardin) ne fait pas bon ménage avec logique. À moins que ce soit fait exprès, car cela a bien des avantages.

Durée de l'exercice de gymnastique : 3 s.

(j'ai vu ce pannonceau en courant autour du Jardin du Luxembourg, preuve à nouveau que la gymnastique matinale peut — doit ? — s'accompagner d'une gymnastique mathématinale) 

Depuis mes deux jours à Fécamp (billet précédent), je continue mon investigation sur les éoliennes – certains commentaires allaient un peu loin, mais d’autres étaient fort intéressants techniquement. Voici les questions que je me suis posées et que je vous fais partager, avec quelques URLs de vérification. Notamment : quelle est la puissance effectivement mobilisée annuellement en MWh d’une éolienne (et non sa puissance nominale en MW) ? en quoi un projet éolien maritime se distingue-t-il d’une réalisation éolienne terrestre ?

Prenons l’exemple concret de Fécamp (un site terrestre existant, cf. ma photo + un site marin à venir, parmi les 4-5 sites de l’appel d’offres). Voici une fiche sommaire des 5 éoliennes terrestres de Fécamp (site Windpower): la puissance nominale de chaque éolienne est de 1 MW, donc au total 5 MW ; la production délivrée (si l’on en croit Windpower) est de 11 GWh annuels – c'est-à-dire qu’elles fonctionnent au nominal en équivalent 2200 heures annuelles (rendement effectif de 25% puisqu’une année comporte 8760 heures).

Le projet maritime est prévu avec des éoliennes beaucoup plus puissantes : 6MW – on peut prévoir un rendement meilleur (dû non à la puissance mais à la situation en mer), d’environ 40 à 45%. Les chiffres de rendement proviennent à la fois du commentaire de qivitoq sur mon précédent billet (nous l’en remercions), de la référence Wikipédia [en] qu’il donne et d’une source de haut niveau chez EDF-EN. Ce parc maritime fournira donc 6 * 83 éoliennes * 8760 * 0,45 = 1963 GWh.

Je fais la comparaison avec Cattenom (bien que cela déplaise à certains de mes commentateurs virulents – alors que justement je connais peu l’éolien et essaie de comprendre) : la centrale a une puissance nominale de 5200 MW et une production effective de 35 TWh, soit un rendement de 77% (ce qui recoupe les chiffres de rendement du nucléaire, de l’ordre de 80%). Au passage je réactualise mon chiffre précédent, en faveur du nucléaire : Cattenom équivaut à 18 champs maritimes type Fécamp, soit environ 1500 éoliennes dernier cri (et non 10 et 870 comme j’avais précédemment écrit).

Du point de l'information publique, je suis étonné que les panneaux (plage de Fécamp, photo) ne mentionnent que la puissance installée (MW), et non la puissance produite annuellement (MWh). Je lis « le parc de Fécamp avec une puissance de 498 MW permettra d’approvisionner l’équivalent de 10% de la consommation annuelle de la Haute-Normandie (ou 750 000 habitants) ». Si l’on doit appliquer le taux de rendement, ce pourcentage tombe à 4,5%. Par ailleurs la référence aux habitants m’inquiète : s’agirait-il uniquement de la consommation domestique, sans prendre en compte la consommation industrielle ? Je n’ai pas réponse à cette question.

Du point de vue scientifique et technique, j’ai essayé de comprendre pourquoi ce rendement de 25 à 45% dans l’éolien. C’est lié à « la courbe de puissance » - voir le remarquable WikiEolienne (rien à voir avec Wikipédia) :

On doit donner une puissance nominale à vitesse de vent donnée : sur cette courbe, cette éolienne a une puissance nominale de 750 kW à vitesse de vent de 15 m/s. On voit se dessiner sur cette courbe les raisons du rendement de 25 à 45% :

1°) de 0 à 5 m/s l’éolienne ne se déclenche pas : le vent est trop faible pour mouvoir les éléments (pales de 25 à 70 mètres, mais aussi rotor, etc.)

2°) de 5 à 15 m/s elle tourne mais pas à puissance nominale.

3°) de 15 à 25 m/s elle fonctionne à puissance nominale.

4°) au-dessus de 25 m/s on doit arrêter l’éolienne le vent étant trop violent.

Donc quand on parle (chiffre ci-dessus) de 2200 heures annuelles (soit 25% de l’année), cela ne signifie pas qu’elle tourne un quart du temps : elle fonctionne plus que cela – c’est un « équivalent 2200 heures ».

Quelques éléments techniques intéressants encore. L’éolienne terrestre (Fécamp) a un diamètre de 52 mètres. L’éolienne marine (Fécamp) aura un diamètre de 160 mètres. Le site Portail-Eolien donne une loi empirique légérement au-dessus du carré du diamètre. Cela recoupe à peu près les chiffres ci-dessus (1MW pour 50 mètres, 6MW pour 150 mètres).

D’autres chiffres de comparaison entre les deux parcs méritent investigation : distance moyenne entre éoliennes environ 4 fois le diamètre en terrestre (soit 200 mètres – j’aurais dit un peu moins sur la falaise, mais les distances sont toujours difficiles à évaluer à l’œil nu) et environ 4 à 8 fois le diamètre en marin – l’information en plage de Fécamp parle de distance inter-éoliennes de 1km (chiffre recoupé par un document de la Commission du débat public : toutes les distances inter-éoliennes des parcs marins sont entre 800 et 1000 m). Pourquoi cette différence ? C’est dû à la prise de vent et à « l’effet de sillage » - comme un voilier qui prend le vent à un autre dans une course. Aussi : le terrestre est généralement en une dimension (un linéaire sur une ligne de crête), alors que la marin est en deux dimensions (un carré). Peut-être un autre billet à prévoir, car l’éolienne recèle plein de sujets passionnants de mécanique des fluides : extrados, portance, etc.

Il est un argument que je ne vois jamais (mais mea culpa sans doute) dans les débats sur le nucléaire : c’est celui de l’emprise au sol. Quelle surface de paysages altère-t-on par des éoliennes, comparé à une centrale nucléaire ? Je suis ce jour à Fécamp, où déjà quatre à cinq éoliennes sont au droit des fameuses falaises de craie (photo), et où un des quatre à cinq projets d‘éolien offshore (appel d’offres gouvernemental de 2011) verra le jour d’ici 2015 (83 éoliennes de 6MW chacune, superficie au large de 75 km²). J’ai essayé de comparer les superficies, à puissance donnée.

Fécamp , cap Fagnet (photo A. Moatti)

Une réacteur nucléaire produit en moyenne 1300MW – une centrale nucléaire peut comprendre plusieurs réacteurs : la centrale de Cattenom (Moselle) en a 4, avec une puissance nominale de 5200 MW. Elle équivaut à 870 éoliennes dernier cri, ou à une dizaine de parc éoliens offshore : chacun verra midi à sa porte – les antinucléaires diront qu’il n’est pas si élevé que cela. Quand même, un petit millier d’éoliennes, ce n’est pas rien du point de vue de l’emprise au sol.

La centrale de Cattenom occupe 415 hectares soit environ 4 km². Un parc éolien offshore occupe 75 km². Si l’on rapporte à la superficie : une centrale a une puissance de 1300MW au km², un parc éolien une puissance de 4,3MW au km². Le propos n’est pas anecdotique, concernant la préservation des campagnes et des paysages, si l'on s'intéresse à une forme de décroissance en termes de constructions permanentes. Il est aussi scientifique : c’est parce qu’on a découvert la force nucléaire (force d’interaction forte), si importante dans un si petit volume (le volume intra-atomique), que l’on peut produire de l’énergie nucléaire sur une petite superficie.

Après tout, on parle bien de fermes éoliennes : pourquoi ne calculerait-on pas leur rendement à l'hectare ?

(lire mon billet suivant sur le même sujet)

Je poursuis mon initiation à la théorie de l'évolution (et à la biologie en général) et vous propose de la suivre avec moi. La lecture récente de "L'Évolution des espèces" (Jean Rostand 1932) donne deux exemples de différences entre Darwin et Lamarck. L'exemple de la girafe est maintes fois donné mais est expliqué succinctement par Rostand - l'autre exemple, celui de la taupe, que je ne connaissais pas, est intéressant. Citons Rostand :

La taupe, disait Lamarck, a perdu ses yeux sous l'influence de l'obscurité souterraine, qui les privait d'emploi. Pour Darwin, lesyeux se sont réduits peu à peu parce qu'à chaque génération la sélection naturelle n'a retenu que les yeux se trouvaient, de par leur petitesse fortuite [c'est nous qui soulignons], le moins sujets à l'irritation oculaire.

La girafe, disait Lamarck [c'est toujours Rostand qui parle] a allongé son cou par l'effort continuel vers les hautes branches. Pour Darwin, le cou de la girafe s'est allongé peu à peu parce qu'à chaque génération la sélection naturelle a retenu les girafes qui, ayant fortuitement le cou un peu plus long, pouvaient brouter un peu plus haut.

Ce n'est pas l'explorateur Jacques Cartier, ni même le mathématicien Pierre (né en 1932) l'auteur de cette formule. C'est celle de la Fondation Cartier (nommée d'après le joaillier Louis Cartier 1875-1942) et de son exposition de mathématiques, déjà évoquée dans ce blog. Je vous donne cette formule :

Oui, vous avez déjà trouvé de tête, bravo !, , çà donne 6 ! + 36² - 5 = 720 + 1296 - 5 = 2011. C'était une des "attractions" de l'exposition : trouver 2011 en utilisant des opérateurs mathématiques sur des chiffres qui se suivent, à partir de 1 (la formule fait intervenir dans l'ordre 1, 2, 3, etc.), et ce bien évidemment en le moins de chiffres possible.

Ceci se faisait non sur un tableau noir avec une craie (les maths à l'ancienne) mais sur un tableau électronique : celui-ci vous disait quand vous trichiez (mettre deux chiffres non successifs) - il enregistrait aussi les "meilleures formules" (comme au flipper les meilleurs scores).

Je défie quiconque, debout, sans calculette, avec des gens regardant derrière, de trouver in situ dans des délais raisonnables cette magnifique formule. D'ailleurs les "meilleures formules" enregistrées étaient toujours des variations autour de celle-ci, avec des parenthèses et des crochets en plus... ce que ne détectait pas cette idiote de machine. J'avais moi-même péniblement trouvé, avec mon fils, une formule montant jusqu'à 12, que je ne me rappelle plus et qui n'a pas d'intérêt, vu celle-là !

Mais une fois qu'on voit la formule, on peut la commenter. Ce que nous allons faire.

D'abord (là c'est le mauvais joueur qui parle), le jeu ne disait pas qu'on pouvait utiliser les "doubles factorielles". Les indications mentionnaient toutefois l'opérateur factorielle.Du coup, je pense qu'on peut utiliser les doubles exponetiations (ce qui peut être utile pour les très grands nombres).

Ensuite, je me demandai pourquoi ce n'était pas 2012 qu'il fallait trouver (ceci dit l'exposition avait commencé en 2011). Eh bien parce que c'est nettement moins élégant (au sens... mathématique) pour 2012. Sauf si un lecteur du blog trouve une formule meilleure, la sule que je vois est de poursuivre la formule ci-dessus en retranchant 6 et en ajoûtant 7... Ce qui montre au passage qu'on peut virtuellement construire tout nombre ainsi, avec cette formule (assez élégante dans sa graphie, mais pas dans sa longueur - écrivez-la pour 2011 ou 2012 si vous y tenez) :

1 - 2 + 3 - 4 + 5 -  ...

Mais c'est le premier terme de la formule ci-avant qui attire l'attention, (1+2)!!. Je pense que c'est le plus grand nombre (720) qu'on peut atteindre avec 1 & 2. Car le seul moyen d'utiliser rentablement 1, c'est par l'addition : en multiplication, puissance, factorielle, il ne "vaut" rien.

Si l'on y met 3, on obtient (1+2+3)!! soit 720 ! (factorielle de 720), nombre qui dépasse déjà l'entendement ; ou si l'on écrit sans la double factorielle (1+2+3)!, on obtient le même résultat que pour (1+2)!! mais en ayant "gâché" le chiffre 3. Le (1+2)!³ est toutefois à retenir, donnant 216, et nous mettant au départ dans des gammes de nombres plus petits - mais qu'on peut rattraper par la suite avec des 4⁵, etc. Ce n'est pas parce qu'on démarre par un plus petit nombre qu'on ne peut pas passer la vitesse supérieure après...

Bref, ce jeu est assez amusant, même a posteriori.

PS : Le jeu que je vous propose, en commentaires, est plus simple : vous contruisez vous-même une formule de Cartier que vous jugez "esthétique" (en utilisant des nombres successifs - NB: pour la graphie d'exponentiation, on peut utiliser ^), et vous la faites deviner en commentaires ! Attention pas sérieux s'abstenir : vous nous faites réfléchir sur un vrai résultat (pas du bidon) - pour preuve vous donnez la réponse deux jours après...